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阿基里斯能追上乌龟吗?

永乐老师 李永乐老师 2020-11-08


上一次我们讲了第一次数学危机,那是关于无理数的危机。这一回我们要来复习一下第二次数学危机,它是关于“无穷小”到底是什么的争论。这个争论从古希腊时代开始,在牛顿时代达到顶峰,经过了2000多年才被最终解决。

关于这个危机,有一个有趣的悖论:希腊联军第一勇士阿基里斯永远也追不上一只乌龟,这是为什么呢?点开下面的视频看看吧!



以下为我的科普书《十分钟智商运动》中相关内容的文章。

第二次数学危机是在关于一个奇怪的数——“无穷小”的争论。这个争论的源头依然要追溯到古希腊时代。


1芝诺悖论

公元前495年,古希腊学霸毕达哥拉斯去世了。这时,一个五岁的孩子正在牙牙学语,他叫做芝诺。

 

芝诺也是古希腊数学家,他提出了一系列悖论以反驳时间和空间的连续性和变化问题,比如有一个悖论称为“阿基里斯永远追不上一只乌龟”

古希腊传说中有一位跑的最快的英雄阿基里斯,希腊联军第一勇士,海洋女神忒提斯和英雄珀琉斯之子。阿基里斯出生后,忒提斯捏着他的脚踝将他浸泡在冥河斯堤克斯中,使他全身刀枪不入,唯有脚踝被忒提斯手握着,没有浸到冥河水,这是他唯一的弱点。在特洛伊战争中他被敌人射中脚踝而死。

有一天,阿基里斯遇到了一只乌龟。乌龟对阿基里斯说:“别看你跑得快,你永远也追不上我。

阿基里斯问:“为什么呢?”

乌龟向他解释道:

 

开始比赛时,阿基里斯在后方A处,乌龟在前方B处,二者同时起跑。

阿基里斯要追上乌龟,首先要追上乌龟先跑的一段AB,但是在这段时间乌龟也在向前跑,当阿基里斯到达B处时,乌龟已经跑到了C处,还没有追上。虽然此时BC的距离小于AB的距离。

阿基里斯会继续跑BC这一段,但是这段时间乌龟也没闲着,跑到了D处,虽然CD小于BC,但是阿基里斯还是没有追上乌龟。

以此类推,阿基里斯和乌龟之间的距离只能不断缩小,但是永远都不会变为零。所以,阿基里斯就永远追不上乌龟啦。

以上就是芝诺悖论。所谓悖论,一般是指同一个命题中有两个对立相反的结论。而芝诺对于阿基里斯追乌龟问题的解释不是推出对立的结论,而是完全违背常理,其实称为诡辩更加合适。


2这个诡辩错在哪?

要推翻这个诡辩其实也不难。

芝诺将一个追及过程分割成无限多份,并且认为:既然段数无穷多,累加起来的时间自然也是无穷长,所以追不上。但是实际上,由于阿基里斯速度大,乌龟速度小,两人之间的距离会越来越短。如果阿基里斯追了无穷多段,下次再追及的距离就是无穷小。

为了更加清楚地解释这个问题,我们把追及过程画在一个数轴上,并且假设AB之间距离为L。方便起见,设阿基里斯的速度等于乌龟速度的两倍。

 

这样一来,相同时间内阿基里斯运动的距离就是乌龟的两倍。所以阿基里斯走过AB=L时,乌龟走过的距离为BC=L/2 ;阿基里斯走过BC时,乌龟走过的距离CD=L/4 ……显然,第N次追及的距离是L/2^(N-1),如果N无限大,这个长度就无限接近于零0,称为无穷小。

如果阿基里斯要追上乌龟,需要追及无限多段,将这无限多段距离求和:

大家经过简单计算就会发现,项数越多,这个式子的结果越接近2L。如果项数无穷多,阿基里斯跑过的距离就与2L相差无穷小。直到阿基里斯追上了乌龟,他跑过的总路程也不会超过2L。同样,如果阿基里斯跑过第一段距离AB的时间是t,那么无穷多段之后阿基里斯追上乌龟,需要的总时间不过是2t。

庄子曰:“一尺之捶,日取其半,万世不竭。” 说的就是一根一尺长的木棍,每天砍掉它的一半,无论经过多久都砍不光。的确,我们可以把木棍分割成越来越短的无限多份,但是加起来依然是一根木棍那么长,这与芝诺悖论多么相似!


3无穷小:微积分的基础

芝诺最早提出了无穷小的概念。只可惜,希腊文明衰落之后,欧洲的科学一直没有太大进步。直到文艺复兴时代来临,在牛顿等一大批科学家的带领下,科学才重新蓬勃发展起来。

我们都知道牛顿是伟大的物理学家,但他也是伟大的数学家。牛顿提出的牛顿二项式定理、牛顿二分法以及微积分,都是近代数学的辉煌成就。

 

微积分在物理上的应用非常广泛,人们利用它解决了很多复杂的问题。微积分中有一个概念:导数。

 

在一个函数图像上随便取两个点P和M,计算二者纵坐标差Δy=y2-y1与横坐标差Δx=x2-x1 ,那么Δy/Δx就称为两个点连线的斜率。

如果M点越来越接近P点,那么PM的连线就会变成过P点的切线,而这条切线的斜率就称为P点的导数。写作

这里lim就叫极限, Δx就称为无穷小。


4第二次数学危机

本来一切看起来都很自然,但是英国大主教贝克莱首先对微积分发难:“无穷小到底是一个什么样的数?它是0吗?如果是0,为什么在求导时可以做分母?如果不是0,又怎么能说刚才计算的是一个点的切线斜率呢?

从牛顿发明微积分到十九世纪二十年代,关于“无穷小”到底是怎样一个数,一直没有一个统一的认识。后来,经过阿贝尔、柯西、康托尔等人的努力,直到十九世纪七十年代,人们才确立起极限基本定理,使得无穷小有了一个合理的解释。从牛顿发明微积分开始计算,已经过去了300年。而从芝诺最早提出的无穷小概念,已经过去了2500年。

数学就是这样,为了一个看似简单的概念,可以争论几百年,甚至几千年。



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李永乐

李永乐老师:北京大学物理与经济双学士,清华大学电子工程硕士;北京市中学物理教师/物理竞赛教练。从教十年,培养清华北大学生200余人,国际奥赛、亚洲奥赛、国家奥赛金牌十余名。

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